mercredi 3 septembre 2014

L'archet moderne : fabrication intuitive ou énigme mathématique ?

La fabrication de l'archet dit "moderne" apparait aujourd'hui - et peut être trop implicitement - comme étant le résultat de recherches artisanales intuitives d'une poignée d'archetiers européens de la fin du 18eme siècle.

Pourtant, il est indéniable que cet archet répond essentiellement à deux principes de calcul mathématique, l'un sur la concavité et l'autre sur les logarithmes.
 

Concavité et convexité : la courbure

Définition intuitive :  
Une fonction f est dite convexe sur un intervalle I si, pour toute paire de points sur le graphe de f(x), le segment de droite qui relie ces deux points passe au‐dessus de la courbe de f(x).
Une fonction f est dite concave sur un intervalle I si, pour toute paire de points sur le graphe de f(x), le segment de droite qui relie ces deux points passe en dessous de la courbe de f(x).

Théorème :
Soit f(x), une fonction deux fois continûment dérivable sur I, un intervalle.
La fonction f est :
·         Convexe si f '’(x) > 0 pour tout x dans I
·         Concave si f '’(x) <  0 pour tout x dans I

Interprétation
Une fonction convexe possède une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut. Au contraire, une fonction concave possède une dérivée première décroissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le bas. Il est important de comprendre la distinction entre la dérivée première, qui nous informe à propos de la pente de la tangente d'une fonction, et la dérivée seconde, qui indique de quelle façon celle‐ci est courbée. 

(d'après HEC Montréal)



Logarithme :
rétrécissement logarithmique

John Napier, physicien et astronome (1550-1617), plus connu en France sous le nom de NEPER, a développé les logarithmes au début du XVIIe siècle. Pendant près de trois siècles, les tables de logarithmes et les règles à calculs ont été utilisées pour réaliser des opérations longues et fastidieuses. Le logarithme décimal (c'est-à-dire en base dix) était le plus communément utilisé.

Le calcul du rétrécissement logarithmique des archets modernes est une performance historique hors du commun du fait de sa complexité mathématique et des exigences techniques de mesure qui y sont associées.

(d'après Aix-planétarium)

(Sources : Internet / recherches Atelier Sandrine RAFFIN - Archetiers)




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